\section{克拉默 (Cramer) 法则}

\begin{frame}{Cramer 法则}
现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题。在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形。 以后会看到， 这是一个重要的情形。至于更一般的情形留到下一章讨论。下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式。

\pause
本节的主要结果是

\begin{theorem}[Cramer 法则]%定理4 
如果线性方程组
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{1}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
\]
的系数矩阵
\[
   A=\left(\begin{array}{cccc}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{2}\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right)
\]
的行列式， 即系数行列式
\[
d=| A| \neq 0,
\]
那么线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的， 解可以通过系数表为
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
\addtocounter{theorem}{-1}
\begin{theorem}[续]
\begin{equation*}
x_{1}=\frac{d_{1}}{d}, \quad x_{2}=\frac{d_{2}}{d}, \cdots, \quad x_{n}=\frac{d_{n}}{d}, \tag{3}
\end{equation*}
其中 $d_{j}$ 是把矩阵 $ A$ 中第 $j$ 列换成方程组的常数项 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 所成的矩阵的行列式， 即
\[
d_{j}=\left|\begin{array}{ccccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & b_{1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n}  \tag{4}\\
a_{21} & \cdots & a_{2, j-1} & b_{2} & a_{2, j+1} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & b_{n} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|, j=1,2, \cdots, n .
\]
\end{theorem}


%定理中包含着三个结论： $1^{\circ}$ 方程组有解; $2^{\circ}$ 解是唯一的; $3^{\circ}$ 解由公式 (3) 给出。 这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
%
%\begin{enumerate}
%  \item 把 $\left(\frac{d_{1}}{d}, \frac{d_{2}}{d}, \cdots, \frac{d_{n}}{d}\right)$ 代入方程组，验证它确是解。
%
%  \item 假如方程组有解，证明它的解必由公式 (3) 给出。
%
%\end{enumerate}
%
%在下面的证明中，为了写起来简短些，我们将尽量用连加号 $\sum$.连加号在前面我们已用过几次，这样的符号用熟了有很大方便。
%
%
%
%\begin{proof}
%1 . 把方程组 (1) 简写为
%\begin{equation*}
%\sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n . \tag{5}
%\end{equation*}
%首先来证明 (3) 的确是 (1) 的解。把 (3) 代入第 $i$ 个方程，左端为
%\begin{equation*}
%\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \frac{d_{j}}{d}=\frac{1}{d} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} d_{j} \tag{6}
%\end{equation*}
%因为
%\[
%d_{j}=b_{1} A_{1 j}+b_{2} A_{2 j}+\cdots+b_{n} A_{n j}=\sum_{s=1}^{n} b_{s} A_{s j},
%\]
%所以
%\[
%\begin{aligned}
%\frac{1}{d} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} d_{j} & =\frac{1}{d} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \sum_{s=1}^{n} b_{s} A_{s j}=\frac{1}{d} \sum_{j=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} a_{i j} A_{s j} b_{s} \\
%& =\frac{1}{d} \sum_{s=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{s j} b_{s}=\frac{1}{d} \sum_{s=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{s j}\right) b_{s} .
%\end{aligned}
%\]
%根据定理 3 中公式 (6), 有
%\[
%\frac{1}{d} \sum_{s=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{s j}\right) b_{s}=\frac{1}{d} \cdot d b_{i}=b_{i} \cdot
%\]
%这与第 $i$ 个方程的右端一致。换句话说，把 (3) 代入方程使它们同时变成恒等式，因而 (3) 确为方程组 (1) 的解。
%\end{proof}
%
%\begin{enumerate}
%  \setcounter{enumi}{1}
%  \item 设 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 是方程组 (1) 的一个解，于是有 $n$ 个恒等式
%\end{enumerate}
%\begin{equation*}
%\sum_{j=1}^{n} a_{i j} c_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n \tag{7}
%\end{equation*}
%为了证明 $c_{k}=\frac{d_{k}}{d}$, 我们取系数矩阵中第 $k$ 列元素的代数余子式 $A_{1 k}, A_{2 k}, \cdots, A_{n k}$, 用它们分别乘 (7) 中 $n$ 个恒等式，有
%\[
%A_{i k} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} c_{j}=b_{i} A_{i k}, \quad i=1,2, \cdots, n
%\]
%这还是 $n$ 个恒等式。 把它们加起来， 即得
%\begin{equation*}
%\sum_{i=1}^{n} A_{i k} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} c_{j}=\sum_{i=1}^{n} b_{i} A_{i k} \tag{8}
%\end{equation*}
%等式右端等于在行列式 $d$ 按第 $k$ 列的展开式中把 $a_{i k}$ 分别换成 $b_{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 因此，它等于把行列式 $d$ 中第 $k$ 列换成 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 所得的行列式， 也就是 $d_{k}$. 再来看 $(8)$ 的左端。 即
%\[
%\sum_{i=1}^{n} A_{i k} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} c_{j}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{i k} c_{j}=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i j} A_{i k} c_{j}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i j} A_{i k}\right) c_{j}
%\]
%由上节定理 3 中公式 (7)，
%\[
%\sum_{i=1}^{n} a_{i j} A_{i k}= \begin{cases}d, & j=k \\ 0, & j \neq k\end{cases}
%\]
%所以
%\[
%\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i j} A_{i k}\right) c_{j}=d c_{k}
%\]
%于是， (8) 即为
%\[
%d c_{k}=d_{k}, \quad k=1,2, \cdots, n .
%\]
%也就是
%\[
%c_{k}=\frac{d_{k}}{d}, \quad k=1,2, \cdots, n .
%\]
%这就是说， 如果 $\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\right)$ 是方程组的一个解， 它必为
%\begin{equation*}
%\left(\frac{d_{1}}{d}, \frac{d_{2}}{d}, \cdots, \frac{d_{n}}{d}\right) \tag{9}
%\end{equation*}
%因而方程组最多有一组解。 I
%
%
%
定理4 通常称为\emph{克拉默法则}。尽管可以用行列式的性质就可证明（比如课本上这里的证明；证明下公式(3)确实给出一个解），
我们会在第三章第一节证明不包含求解公式的Cramer法则（及其逆），会在第四章通过矩阵的运算来证明Cramer法则。


\pause
\begin{example}%例1 
解方程组
\[
  \left\{\begin{array}{rrrrl}
2 x_{1} & +x_{2} & -5 x_{3} & +x_{4} & =8, \\
x_{1} & -3 x_{2}& & -6 x_{4} & =9, \\
& 2 x_{2} & -x_{3} & +2 x_{4} & =-5, \\
x_{1}& +4 x_{2} & -7 x_{3} & +6 x_{4} & =0 .
\end{array}\right.
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}
\addtocounter{theorem}{-1}
\begin{example}[续]
方程组的系数行列式
\[
  d=\left|\begin{array}{rrrr}
  2 & 1 & -5 & 1 \\
1 & -3 & 0 & -6 \\
0 & 2 & -1 & 2 \\
1 & 4 & -7 & 6
\end{array}\right|=27 \neq 0,
\]
因此可以应用克拉默法则。
\pause
由于
\[
  \begin{aligned}
    d_{1}&= \left|\begin{array}{rrrr}
    8 & 1 & -5 & 1 \\
  9 & -3 & 0 & -6 \\
-5 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 4 & -7 & 6
\end{array}\right|=81, &
d_{2}&= \left|\begin{array}{rrrr}
2 & 8 & -5 & 1 \\
1 & 9 & 0 & -6 \\
0 & -5 & -1 & 2 \\
1 & 0 & -7 & 6
\end{array}\right|=-108, \\
d_{3}&= \left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 8 & 1 \\
1 & -3 & 9 & -6 \\
0 & 2 & -5 & 2 \\
1 & 4 & 0 & 6
\end{array}\right|=-27, &
d_{4}&= \left|\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & -5 & 8 \\
1 & -3 & 0 & 9 \\
0 & 2 & -1 & -5 \\
1 & 4 & -7 & 0
\end{array}\right|=27,
\end{aligned}
\]
\pause
所以方程组的唯一解为 $x_{1}=3, x_{2}=-4, x_{3}=-1, x_{4}=1$.
\end{example}

\pause
应该注意，定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组， 它只能应用于这种方程组;至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
\end{frame}

\begin{frame}
  常数项全为零的线性方程组称为\emph{齐次线性方程组}。 显然， 齐次线性方程组总是有解的， 因为 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(0,0, \cdots, 0)$ 就是一个解， 它称为\emph{零解}或\emph{平凡解}。 对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是， 它除去零解以外还有没有其他解， 或者说， 它有没有非零解 (非平凡解)。 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有


\pause
\begin{theorem}%定理5 
  \label{1C7}
如果齐次线性方程组
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0,  \tag{10}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0
\end{array}\right.
\]
的系数矩阵的行列式 $|A| \neq 0$, 那么它只有零解。 换句话说， 如果方程组 (10) 有非零解，那么必有 $|A|=0$.
\end{theorem}

下一章我们会证明此命题的逆命题也成立 (即(10)只有零解时$|A|\neq 0$)，
因此(10)只有零解当且仅当$|A|\neq 0$.

\pause
\begin{proof}
  应用克拉默法则，$|A|\neq 0$时该齐次线性方程组解存在且惟一。因此平凡解就是唯一解。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例2 
  求 $\lambda$ 在什么条件下，方程组
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    \lambda x_{1}+x_{2}=0 \\
  x_{1}+\lambda x_{2}=0
\end{array}\right.
\]
有非零解。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
根据定理 5, 如果方程组有非零解，那么系数行列式
\[
  \left|\begin{array}{ll}
    \lambda & 1 \\
  1 & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{2}-1=0
\]
所以 $\lambda= \pm 1$. 不难验证，当 $\lambda= \pm 1$ 时，方程组确有非零解 
(我们尚没证明定理~\ref{1C7}~的逆命题，这个讨论是需要的；
以后知道了，这部分就不必了)。
\end{solution}

\pause
克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系， 这一点在以后许多问题的讨论中是重要的。 
但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的线性方程组就要计算 $n+1$ 个 $n$ 阶行列式， 
这个计算量是很大的。
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 说说Cramer法则。
    \item 说说Cramer对齐次线性方程组的应用。
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
